课题研究

选取教材内学习内容（片段）做一个数学建模的活动设计。

发布时间:2014-2-19 20:38:14 浏览次数：160

选取教材内学习内容（片段）做一个数学建模的活动设计。

销售中的盈亏问题的建模教学

1、背景问题

某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?

2、数学建模

（1）问题分析

①假设一件衣服的进价是 元，以60元卖出，卖出后盈利25%，那么这件衣服的利润是多少元？

②假设一件衣服的进价是 元，以60元卖出，卖出后亏损25%，那么这件衣服的利润是多少元？

（2）模型建立

问题1 你认为销售价与进价之间具有怎样的关系时是盈利的？

归纳 盈利：销售价＞进价

问题2 你认为销售价与进价之间具有怎样的关系时是亏损的？

归纳 亏损：销售价＜进价

问题3 你认为销售价与进价之间具有怎样的关系时不亏不盈?

归纳 不盈不亏：销售价＝进价

问题4 你发现利润、销售价、进价之间有怎样的关系？

归纳 利润＝销售价－进价

问题5 你发现利润、进价、利润率之间有怎样的关系？

归纳 利润＝进价×利润率

问题6 你发现销售价、进价、利润率之间有怎样的关系？

归纳 销售价－进价＝进价×利润率

（3）模型求解

设盈利25%的那件衣服的进价是 元，那么它的利润就是 元，根据销售价、进价和利润之间的关系，列方程 ，解得 ．

设亏损25%的那件衣服的进价是 元，那么它的利润就是 元，根据销售价、进价和利润之间的关系，列方程 ，解得 ．

于是 ＝48＋80＝128＞120，所以卖出这两件衣服总的是盈利的．

（4）模型应用

应用1 “打折销售”是商家进行促销活动的常用手法之一，商家常常将“打折销售”说成是“亏本大甩卖”．电器商场的一种新型电子产品按每件600元卖出时，可获利50%．在促销活动中该电子产品按标价的七折售出，商场卖出该电子产品亏本了吗？说说你的理由．

应用2 某件商品进价为250元，按标价的九折销售时，利润为15.2%，这件商品的标价是多少？

应用3 一商场将每台彩电先按进价提高40%标出售价，然后广告宣传将以80%的优惠价出售，结果每台彩电赚了300元，则经销这种商品的利润率是多少?

应用4 某件商品进价是3 000元，标价为4 500元，商场规定该商品售出时利润率不低于5%．那么售货员在出售该商品时最多可以打几折？

销售中的盈亏问题的数学建模教学中，先将背景问题分解成2个小问题进行分析，降低教学的起点，以便全体学生从课堂教学的一开始都能真正进入到教学活动中去．紧跟其后的6个小问题带动学生拾级而上，引导学生在数学学习活动中探索规律、“创造”数学模型，使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感、态度与价值观等多方面得到进步和发展．数学模型中的量既可以是确定的固定的量，也可以是相对变化的量．通过对数学模型的量作了适当的处置，可以解决原本需要用不等式解决的“应用4”．通过建立数学模型、应用数学模型，学生的数学知识结构和数学思想方法的认识上升一个新台阶．

3、设计一道几何探究题：通过设置层层递进的“问题串”，让学生在问题的解答中暴露思维过程。

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF，BD之间的位置关系为 ，数量关系为
②当点D在线段BC的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C，F重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
（3）若AC=4