面积与代数恒等式
发布时间:2014-1-14 20:26:57 浏览次数：274
课题学习
——面积与代数恒等式
学习目标
1.通过对几何图形的面积关系的观察、分析、研究，从中抽象、归纳出一些代数恒等式；
2．根据代数恒等式的特点，设计相应的图形验证其正确性；
3．应用数形结合理解面积图形与代数恒等式之间的关系，体会它们的几何意义.
4．培养学生的数学实验意识及渗透数形结合思想.
重点：通过探索与思考体会数学的应用价值，增强数学的开放性、探索性和实践性的认识．
难点：对问题的观察与探索的方向的把握．
学习过程
一、事例分析，导入新知
在前面的学习中，大家接触了许多等式和公式等，例如（a+b）（a－b）=a2－b2，
（ab）n=anbn，（a+b）2=a2+2ab+b2等，这些等式都称为代数恒等式．
我们可以用直观的几何图形表形象地表现出有些代数恒等式．
问题一．（1）、如图,有一个张长方形纸片，该如何表示它的总面积？
方法1. S= ①
方法2. S= ②
方法3. S= ③
方法4. S= ④
从图形面积的不同表示方法可以列出一个代数恒式.
二、自主探究，总结方法
1.从图形面积到代数恒式：
（1）说一说:请同学们观察用硬纸片拼成的两幅图形：
①如何求图形的面积？
这些图形面积的两种不同表示，可以用来解释代数恒等式.
这也是数学中一种常用的数学技巧--------算两次.
问题二．如图3，用4个长为 的长方形拼成一个正方形，
①请你根据图形的面积写出一个代数恒等式.
②利用我们学过的公式进行计算，能不能验证它的正确性呢？
方法1:把这个大正方形分成五块(一个小正方形和4个长方形)：
__________________；
方法2:求中间这个小正方形的面积：_______________________；
方法3:求四个长方形的面积：_______________________；
方法4:把这个正方形分成三个长方形：_______________________.
小结：利用同一图形面积的不同表示方法可以得出代数恒等式
2.从代数恒等式到图形面积：
问题三：请分别说出下列代数式或代数恒等式的几何意义：
(1)2a·3a=6a2； (2)m(a+b+c)=ma+mb+mc； (3)3a·5ab.
如:归纳⑶:方法1:表示高是3a，底面边长是5a、b的长方体；
方法2:表示3个高是a，底面边长是5a、b的长方体；
方法3:表示5个高是3a，底面边长是a、b的长方体；
方法4:表示15个高是a，底面边长是a、b的长方体.
三、理解运用，巩固提高
1.说明下列代数恒等式的正确性.
① 2ɑ－3b＝6ɑb ② (2ɑ＋b)(ɑ＋b)＝2ɑ²＋3ɑb＋b²)
2.看图，写代数恒等式:
|
|
|
|
四、总结反思________________________________________________________________.
专题训练
-----------代数恒等式
x
| x |
| x-y |
| x-y |
| y |
| y |
（如图），试验田的总面积可表示为 ，也可表示为 ，即有 ＝ 。
2.请你观察图，依据图形面积之间的关系，
不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟
悉的公式，这个公式是
长为b的小正方形（a＞b）；把剩下的部分拼
成一个梯形，分别计算这两个图形的阴影部分
的面积，验证了一个公式：
B、
D、
5．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如图（3）可以用来解释（a+b）2－（a－b）2=4ab.那么通过图（4）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）
A、a2－b2=（a+b）（a－b） B、 （a－b）2=a2－2ab+b2
C、 （a+b）2=a2+2ab+b2 D、 （a－b）（a+2b）=a2+ab－b2
7、如图所示，（1）指出图中有多少个边长为a的正方形？有多少个边长为b的正方形？有多少个两边长分别为a和b的矩形？（2）请在图中指出面积为(a+2b)2的图形,利用乘法公式计算结果,并利用图形的关系验证相应的结果
”可以用平面图形的面积来表示[如图（A）]。实际上，有些代数恒等式也可以用平面图形的面积表示，例如：（2a+b）(a+b)可以用图形（B）或（C）的面积表示。
m m n n 图a 9.图a是一个长为2 m、宽为2 n的长方形, 沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形, 然后按图b的形状拼成一个正方形。 (1)、你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等 于多少? (2)、请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积。 n n n n m m m m 图b 方法1： 方法2： (3)、观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?代数式: （2）有多个长方形和正方形（如下图）：利用这些图形，画出一个矩形，使其面积为 y x x x y y 11、(1)已知
，求
（2）如图所示的长方形或正方形三类卡片各有若干张，利用这些卡片拼成一个长方形和正方形图形。长方形的面积能表示成
（要求：所拼图形中每类卡片都要有，卡片之间不能重叠。）画出示意图，并计算出它的面积。