开放型探究题可以分为以下三类：一、条件开放型条件开放型数学题是指：给出问题的结论，让学生分析、探寻使结论成立应具备的条件，即问题的条件是不完全的，条件不足或多余的这类问题。条件不足时要求补上；条件多余时，在互不矛盾的情况下要求进行选择。这种题型重在考察学生逆向思维的能力，训练学生思维的严谨性。解这样的探究题，要求学生从问题的结论出发，执果索因。由于添加的条件是开放的，因此又有 “有限穷举型、有限混浊型、无限离散型”等三种形式。列举如下：例１：已知三个数３、１２，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是 。评析 本例属于条件开放型探究题，根据比例中项的意义不难得到，这个数是±６或４８或 。本例答案是有限可举的，所以它又称有限穷举型条件开放题。解这类问题时答案不能遗漏。例２：如图：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０，沿过点Ｂ的直线ＢＥ折叠这个三角形，使点Ｃ恰好与ＡＢ的中点Ｄ 重合，还应添加什么条件？评析 本例属条件开放型探究题。如果不再添加辅助线，要使Ｄ为ＡＢ的中点，可添加下列条件之一：（１）∠ＢＥＤ＝∠ＤＥＡ （２）∠ＥＢＡ＝∠Ａ（３）∠ＡＥＤ＝∠ＣＥＢ （４）∠Ａ＝∠ＥＢＣ（５）∠ＣＥＢ＝６０° （６）∠ＤＥＢ＝６０ ° （７）∠ＤＥＡ＝６０° （８）∠ＢＥＡ＝１２０° （９）∠ＥＢＣ＝３０° （１０）∠ＥＢＡ＝３０° （１１）∠Ａ＝３０° （１２）∠ＣＢＡ＝６０°（以上是角的关系）；（１３）ＢＥ＝ＡＥ （１４）ＡＢ＝２ＢＣ （１５）ＡＣ＝ ＢＣ（１６）２ＡＣ＝ ＡＢ（以上是边的关系）（１７）△ＢＥＣ≌△ＡＥＤ（三角形之间的关系）由于本题添加的条件属性不明，可以从不同角度、不同层次回答，因此答案繁多，虽然从理论上讲，本题的答案是有限个，但解题者很难一下子把所有答案一一列举出来。我们把这一类条件开放题称为有限混浊型条件开放探究题。解这类题的策略是：需从多个不同角度思考，先从直接条件入手，再挖间接的、隐含的条件，并按某些规律分类表述。如本题先从角的关系来表述，再从边的关系表述，最后是从三角形之间的关系来表述，这样就容易做到不重不漏。二、结论开放型问题的结论不确定，呈多样性，称之为结论开放型探究题。由于结论不惟一，有多种正确答案，能体现解题的不同水平，因此如何尽可能多地找出符合条件的结论是探究的难点。这种题型重在考查学生发散思维的能力，训练学生思维的灵活性。结论开放型探究题的答案结构也有“有限穷举型、有限混浊型和无限离散型”这三类。列举如下：例３：如图，ＡＤ切⊙Ｏ于点Ａ，割线ＤＣＢ经过圆心Ｏ，ＡＥ⊥ＢＤ点Ｅ。根据图形写出１０组比例线段。（１个比例式和它的变形，按１个比例式计算）评析 本例条件充分，结论显然不惟一，是结论开放型探浅谈初中数学开放型探究题的类型 ◇ 陈秀禄究题，答案是有限的，先挖掘题目中的隐含条件： （１）∠ＢＡＣ＝Ｒｔ ∠ （２）∠ＯＡＤ＝Ｒｔ∠ （３）ＡＣ、ＡＢ分别为△ＡＥＤ的内、外角平分线，这样就可以从原图形中分离出四个基本图形： 图（１） 图（２）如图（１），由三个三角形相似（Ｒｔ△ＡＢＣ∽Ｒｔ△ＥＢＡ∽Ｒｔ△ ＥＡＣ），可得９个不同的比例式。如图（２），同样由三个三角形相似（Ｒｔ△ＯＡＤ∽Ｒｔ△ＯＥＡ ∽ Ｒｔ△ＡＥＤ）又可得到９个不同的比例式。 如图（３） 如图（４）如图（３）由原图知∠ＥＡＣ＝∠ＤＡＣ，又∠ＢＡＥ ＋∠ＥＡＣ＝∠ＦＡＢ＋∠ＤＡＣ，∴∠ＢＡＥ＝∠ＦＡＢ，根据三角形内、外角平分线的性质，可得， ，这样又有三个比例式。如图（４），∵∠Ｂ＝∠ＣＡＤ，∠Ｄ＝∠Ｄ，∴△ＡＢＤ∽△ＣＡＤ，又有３个不同的比例式。小结 解有限穷举型结论开放题，应先从直接、显性的结论入手，通过等量代换产生出新的结论，分离出基本图形逐一进行分析，也是一种手段。三、策略开放型策略开放型是指解题方法不唯一，或解题途径不明确的问题，即解决的策略具有创新性和发散性等特点的问题。这种题型重在考查学生数学建模能力，训练学生思维的科学性。它要求在解题过程中不墨守成规，不因循守旧，通过创新求索，从不同角度思考问题，有时发现一个新的解答需要一种新的方法或开拓一个新的研究领域。例４：在日常生活中，数学有着十分广泛的应用。在下面三个问题中任选一个，请用学过的数学知识，提出你认为比较合理的解决办法（所用工具不限）（１）在河的一侧测出河的宽度；（２）根据甲、乙两名成绩相近的跳远运动员近期的１０次训练（比赛）纪录，选出一名选手参加市运动会跳远比赛；（３）测量学校操场旗杆的高度。评析 本例由于用什么知识与方法去解决没有规定，所以具有非常规性和发散性的特点，是策略型开放探究题。此类题在筹划、设计、解决问题的方案中，没有标准答案，可以利用各自的知识、经验，以各自的思维方式来展示分析问题和解决问题的能力，只要方法合理可行、有理有据即可。这种开放性问题更接近实际，更能检验从实际问题中建立数学模型的能力。总之，一个数学问题按数学思维形式“假设—推理—判断” 可分为三个部分。若其未知的要素是假设，则为条件开放型；若其未知的要素是推理，则为策略开放题；若其未知的要素是判断，则为结论开放题。在解这类数学问题时，要尽可能多地找出开放的条件、结论和策略，突破传统的思维方式，多方位、多角度地进行思考，张扬思维的个性，崇尚体验、探索与创新。