初中数学思想方法的教学初探
发布时间:2014-1-25 19:05:24 浏览次数：169
初中数学思想方法的教学初探
摘要：数学思想方法是一类数学方法的概括，是贯穿于该类数学方法中的基本精神，思维策略和调节原则，它制约着数学活动中主观意识的指向，对方法的取舍组合具有规范和调节作用。
关键词：思想、方法、数学思想、数学方法。
数学在其漫长的发展过程中，不仅建立了严密的知识体系，而且形成了一整套行之有效的思想方法，加强数学思想方法的教学，对于学好双基，培养能力以及培养学生的素质具有重要作用，为了深化数学教学改革，数学思想方法及其教学问题进行探讨很有必要。以下我主要从三个方面谈我个人的见解。
一、数学思想方法及其意义
1、什么叫数学方法：
数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态，关系和过程，经过推导，运算和分析，以形成解释，判断和预言的方法。
2、什么叫数学思想
数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实和数学理论的本质认识。
3、数学思想方法的意义
数学思想方法是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙，是层出不穷的数学发展的源泉。数学教学必须通过数学知识的教学和适当的解题活动突出数学思想和方法。
①、数学思想方法是实现数学教学面向全体学生的重要内容。
②、数学思想方法是素质教育的重要内容。
a、它能培养学生的创造能力；
b、它能培养学生的数学思维品质；
c、它有助于培养学生的科学观念；
d、数学思想方法的学习有助于掌握和理解数学知识；
e、数学思想方法的学习有助于培养数学语言学习。
③、数学思想方法的教学是科学技术日新月异的需要。
二、数学思想方法的教学原则
1、数学思想方法特征
①、具有高度的抽象性 ②、隐蔽性强 ③、难以表达
数学深层知识比表层知识更富有抽象特征，表层知识可以通达符号、定义、定理、公式，图形等方式明确表示，而深层知识虽然对某些特点可以用简单的语言进行描述，但难以对丰富的内涵与众多的运用方式进行明确的表达，这就给学习带来了困难。
2、数学思想方法教学的原则
数学思想方法的教学要遵循渗透性、反复性、明确性和实践性的教学原则。
①渗透性
数学思想方法是源于一般数学，但又高于一般的数学知识，因此在教学中，应在学生掌握一般知识的过程中渗透其中蕴涵的思想方法，并在掌握了必要的基础知识的基础上，对相应的思想方法做出适当的概括。切不要单纯以某一个思想方法作为教学对象而展开教学，这样，学生不仅不能很好地领会思想，思想方法的深刻内涵，反而使学生对所论及的思想方法的理解变得机械、僵化，甚至产生某些偏差。
②、反复性
学生对某一个数学思想方法的认识，理解是有一个过程的。希望通过几节课就达到掌握思想方法的目的只能是不可及的奢望。一般说来，学生是在学习一般知识的过程中，在教师的启发下，对其中蕴涵的数学思想方法逐渐产生感性认识，经过多次反复，在比较丰富的感性认识的基础上逐渐概括成理性认识，然后在应用中，对形成的思想方法进行验证和发展，进一点加深对它的认识。也就是说，学生对数学思想方法的体会和掌握是在较长的学习过程中，经过多次的反复，逐渐提高认识的层次，从低级到高级，螺旋上升的。
③、明确性
以上两个方面反映了数学思想方法教学的特点，渗透是需要过程的。但是值得注意的是，如果一味长期、反复、不明确地渗透，而不在适当的时机加以明确，将会影响学生认识从感性到理性的飞跃，妨碍学生有意识地去掌握和和领会。因此，在反复渗透的过程中，还要利用适当的时机，对某种数学思想方法进行概括，强化和提高，对其内容，规律和使用方法适度明确化。这应当是数学思想方法教学的又一个原则。
④、实践性
学生对数学思想方法的认识和体会要在他们亲自参与数学活动的过程中进行。现在，人们已经普遍接受了数学的学习过程应该是“做数学”的过程这一观点，数学思想方法的体会和掌握也是如此。观察、实验、归纳、类比这些方法离不开学生的实践活动，而其他数学思想方法也只有让学生在实践过程中去体会和掌握。
三、初中数学思想方法的教学
（一）思想方法教学中的几点认识
1、是“方法”还是“技能”
由于方法和技能都是解决问题的常用程序，因而方法一词在日常教学中常常与技能混为一谈。许多本属于技能的具体操作，如公式法、配方法、割补法等也被列入方法系列。数学方法应该具有一定的抽象度，为分析，处理和解决数学问题提供策略，但一般不提供解决问题的程序。
2、是“思想”还是“方法”
有些文章将数学教学中的一些常用方法称为思想，如将代入法，换元法等称做“思想，造成数学思想数量大、内容多，不利于在数学教学中运用。我们认为数学思想是数学的本质，是对数学规律性的理性认识。这种认识有普遍性，可以应用于更广泛的数学领域，更进一步讲，许多数学思想还可以渗透于许多行业中，而数学方法虽然也是理性认识，但因其概括性较数学思想弱，所以其迁移范围不如数学思想广而更多的是运用于某一数学领域。
3、是“一般方法”，还是“数学方法”
观察、类比、实验、分析、综合等虽然在数学领域中有着广泛的应用，但它们是科学认识的一般方法，在其他学科教育中都予以重视。而数学方法应该受数学内容的限制，更多的是在数学教育中才能予以落实并发挥其教育功能的。数学方法应体现如下特征：运用数学方法可以包括数学知识；也可以是分析数学问题，处理数学问题的概括性策略，如数形结合法，交换法和分类讨论法等。
作为中学教师，应立足于中学教材去挖掘数学思想方法，只有这样，才能做到在教学中“有法可依，有章可循”。而且还要考虑学生的接受能力。而不必把一些在中学教材中学生体会不深刻，又难以接受的现代数学思想方法，作为重点列入中学数学教学中。
（二）、数学方法
在中学教材中应重视的数学方法有：数学建模法、数形结合法、函数法、分类讨论法、变换法等。
1、数学模型
数学建模是数学抽象化的产物，是对现实原始的概括反映或模拟。其原形可以是具体对象及其关系，也可以是数学对象及其关系。中学数学中的数学模型一般作广义解释，即数、式、方程、空间等都可以作为数学模型。
通常将实际问题转化数学问题的一个重要途径是将实际问题提炼成数学模型，构造数学模型就是将实际问题“数学化”。通过研究事物的数学模型来认识事物的方法称为数学模型法。
在中学数学中，数学模型比比皆是，按其功能可分为两类：概念型和方法型。而概念型是将客观事物或现象直接抽象成数学概念，如自然数、奇数、整式、代数式和空间等；方法型是指客观事物或现象间的关系抽象成数学中的公式、运算法则等。概念型和方法型数学模型的建立，一般都需要借助于数学符号，如加法符号“+”，乘法分配律(a＋b)×c＝a×c＋b×c等。
在数学教学中，既要培养学生通过构造数学模型处理问题的能力，还要通过分析各种数学模型的关系，加深学生对数学模型的认识与理解。
2、数形结合法
数学家华罗庚先生说得好：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数和形作为数学的两个基本对象，在中学数学中，利用数形结合法可将代数与几何问题相互转化，也就是说，几何概念可以用代数语言表示，几何目标可以用代数方法来达到。反过来，几何又给代数概念以几何解释，赋予那些抽象概念以直观的形象。在分析表层知识处理数学问题时，应该善于运用这种方法。
例如：在讲解一次函数、一次方程、一次不等式、各概念之间的关系时，可采用数形结合法构造框架，以加深理解，如下图
y=ax+b（a＞0） y=ax+b（a＞0）
y=0 y y=ax+b（a＞0） y≥0
ax+b=0
这一教学过程充分体现了数形结合方法的合理运用，不仅会避免学生机械记忆公式，还有助于培养学生的数形结合的意识，将孤立的数学知识联系起来，并且有意识地利用数形结合的方法处理和解决数学问题。
3、函数法
在中学，函数也是一个包容性很强的概括性知识，因此，函数法是中学数学中从运动变化的观点来认识和处理问题的一个重要方法。利用函数可以分析中学数学的许多内容，如数、式、方程、不等式等问题在推演过程中遇到困难时，可以将其转化为函数问题，利用函数方法来处理和解决。
例如，已知a、b、∈ 、R，求证：a2+b2≥ab+a+b－1。通过分析知道只要证a2+b2－（ab+a+b－1）≥0，即可，于是令y= a2+b2－（ab+a+b－1）= a2－a（1+b）+（b2－b+1）。这样就将不等式问题转化为函数问题，其判别式 
=－3（b－1）2≤0 ∴y≥0成立。
函数在初中数学中是以表层知识出现的，在初中依次学习“平面直角坐标系”，“一次函数”，“反比例函数”， “二次函数。”可见，函数在数学发生发展过程中起着举足轻重的作用。
4、分类讨论法
分类讨论法就是对问题进行分情况讨论的方法，当问题含有多种可能的可能情况，人们难以对它进行统一处理时只能按其出现的各种情况分类进行讨论，分别得出与分类相应的结论，然后综合这些结论，便可得到原来问题的解答。这种分析问题，解决问题的方法称为分类讨论法。
在中学数学中，分类讨论法广为使用，几乎贯穿其全部教学过程之中，从横向看，在定义、计算题，合情推理与演绎推理，数学证明等方面都有广泛的运用，从纵向看，则运用于中学各年级的所有科目的数学之中。
此外还有由性质引分类讨论和由图形位置引起的分类讨论和由结论引起分类讨论。
5、变换法
运用一定的措施和手段，把复杂的数学问题变换成与之等价的一个或几个较为简单的数学问题，从而使原问题得到解决的方法叫做变换问题的方法，一般来说，在用变换法处理问题时，即可以变换问题的条件，也可以变更问题的结论，还可以运用几何变换方法，对图形的形状，大小等加以变换。
初中代数，三角形所涉及的许多变换都可置于“变换”观点之中，如解析几何的恒等变换，方程、不等式的同解变换命题及命题形成的等价变换、比例变换、放缩变换等；中学平面几何，常用旋转变换，相似变换来处理和解决问题。
（三）、数学思想
在中学数学中，我们接触过的数学思想有很多，但其中最重要且基本的数学思想有四个，即集合思想，数学结构思想，对应思想和化归思想。
1、集合思想
在实践中，人们经常把具有某种共同属性的事物放在一起，视为一个整体，对它们作统一的研究和处理。整体思想是人们认识事物，解决问题的一种基本想法，可以体现于所有数学分支之中。
首先，有些数学模型本身就是集合，比如数集N，Z 、Q、R等。其次，概念型数学模型都有其自身的内涵和外延。数形结合主要体现了代数与几何两大分支集合间的对应关系。另外，分类讨论法的实质是集合的分类，变换法实质是将一个集合中的问题转为另一个集合中的问题。
2、数学结构思想
在初中数学中，强调数学结构思想主要强调数学知识间的广泛关联性，这种广泛关联主要体现在以下两方面。
第一，各种数学模型的建立，表面上看，它们可能毫不相干，甚至是互为对立的数学材料，然而利用数学结构的思想却可以把它们的联系起来，统一在结构观点之中。
第二，知识间的相互转换性。数学表层知识之间可利用变换法相互转换。又如，一个数学知识可以通过运算转换为另一个数学知识，例a－b乘以a+b则转换为a2－b2 ，再如，方程间可以进行同解变换，代数式间可以进行等变形，一个几何图形从一个位置通过平移可转换到另一个位置等。实际上。数学知识间的转换均是通过某个变换来实现的。譬如，整数对于加法运算就是封闭的，即注意两个整数相加所得的数仍为整数。
3、对应思想
在实践中，人们总是根据事物的本质属性，外部特征和行为规则将事物分类，这些类（集合）的个体之间可以构成各种各样的对应关系，这种对应关系在数学中的具体反映就对应思想。
第一，运用数学模型分析问题和处理问题时，数学模型和其原模型之间必然存在着一个对应。例如：用一笔画问题解决“七桥问题”是运用数学模型的典范，其中与数学中的点，桥与教学中的线，都建立了对应关系。
第二，数形结合法则体现了数与形的对应，如实数与数轴上的点一一对应，复数对应着二维平面上的点，函数的解析式与图之间存在着对应关系等。
第三，函数是一种特殊的对应，所以利用函数的分析法分析问题，处理问题也离不开对应思想的指导。
第四，分类讨论法实际上是集合的分类，原集合与其子集的元素之间存在着对应关系。
第五，变换法的实质是将集合A中的问题P1 转换为集合B中的问题P2 ，其中P1对应P2体现着对应思想。
4、化归思想
事物之间的普遍矛盾构成了五彩缤纷，千差万别的世界，事物之间的普遍联系又使及事物之间可以转化。将复杂问题简单化，实际问题科学化。这种转化思想在数学中的具体反映就是化归思想。一般来说，化归思想主要体现于运用数学方法处理和解决数学问题的过程之中。例如：运用数学模型法将实际问题转化为数学问题，就体现了实际问题数学化的化归思想；利用数形结合法解决数学问题，一般是在化归思想指导下进行几何问题与代数问题之间的相互转化；利用函数解决数学问题时，主要将特殊问题转化为函数问题，即化归思想的体现。
以上仅是中学数学中一些重要数学思想方法，还有一些思想方法在中学数学中也有不同程度的体现，如优化思想，概率思想，抽象统计思想，极限思想，符号与变元表示思想，对立统一思想，函数与方程思想，整体思想等。在教学中，依具体情况，也应予以渗透。
最后，需要指出的是，在新课程标准，教科书和实际教学中，有时把“思想方法”作为一个词语使用。在解二元一次方程组时，我们常说，要让学生掌握“消元”的思想方法。事实上，当我们从“化未知为已知”的角度去分析问题时，思想属于“化归的思想”；当我们从“化二元为一元”的角度去分析此问题时，其方法属于消元法；而当我们从代入公式直接求解的角度去分析此问题时，就出现了“行列式法”（其实也是代入法）。根据这样的认识，在不少场合系统使用“思想方法”一词是合理的，作为科学研究，必须把“思想”和“方法”分开予以界定。另外，对于传授数学思想方法时，应把握新课程标准中的四个层次，而了解、理解，掌握、和灵活运用。对于各目繁多的思想和方法要适时注意从逻辑上分类。注意区分是一般思想方法还特殊思想方法，切不可等闲视之。
有关数学思想和数学方法，尚是一个崭新的研究课题，以上认识涉及很多因素，有待进一步开掘，错漏之处欢迎批评指正。
参考文献：《中学数学教学研究》
《新编中学数学教学论》