例谈初中数学分类讨论思想
分类讨论是人们常用的重要思想方法，无论是在生产活动、科学实验中，还是在日常的生活中，都常常需要用到它．初中数学中的分类讨论思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想．分类讨论是数学解题中的一个重要思想方法，它能训练人的思维条理性和严密性。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。下面重点谈一下初中数学中的分类讨论思想及运用这一思想时应该注意的问题。
（一）分类讨论遵循的原则。
在初中阶段，我们经常用到的有以下四大原则：
案例1：有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。
事实上，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是直角三角形，还可以是钝角三角形；而钝角三角形、直角三角形、锐角三角形可以是等腰三角形，也可以是不等腰三角形。这样的划分是混乱的。
2、相称性原则。分类应当相称，即划分后子项外延的总和，应当与母项的外延相等。
案例2：有些同学把有理数分为正有理数和负有理数两类，这个分类是不相称的，因为子项的外延总和小于母项的外延。事实上有理数中还包括既非正又非负的有理数——零。
3、互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。
案例3：某班有9名同学参加了球类和田径两项比赛，其中有6人参加球类比赛，5人参加了田径比赛。如把这9人分成参加球类比赛和参加田径比赛两类，这就犯了子项相容的逻辑错误，因为必有2人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛。
4、层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。有些对象的分类情况比较复杂，这时常采用“二分法”来分类，就是按对象有无某性质来进行分类。按“二分法”作分类，就是把讨论对象的外延一直分为两个互相矛盾的概念，一直分到不必再分为止。
案例4：对于实数，有以下的正确分类：实数分为有理数和无理数，有理数包括整数和分数；整数包括正整数、零和负整数，分数包括正分数和负分数；无理数包括正无理数和负无理数。
（二）分类讨论的步骤
用分类讨论思想解决问题的一般步骤是：
1、先明确需讨论的对象及讨论对象的取值范围；
2、正确选择分类的标准，进行合理分类；
3、逐类讨论解决；
4、归纳并作出结论。
案例5：解不等式 (k-1)x＞k2-1
如果不加区分，得x＞k+1，那就不对了，因为既可以k-1＞0，或k-1=0，也可以k-1＜0。不同的情况下有不同的答案。正确的解答应该如下：
解：当k-1＞0 即k＞1时，则x＞ k+1
当k-1=0
当k-1＜0 即k＜1时，则 x< k+1
综上所述：当k＞1时，x＞k +1；当k=1时，不等式无解；
当k＜1时
（三）常见的需分类讨论的几种情况
掌握用分类讨论思想解题的关键，在于搞清楚哪些情况下会引起分类讨论。下面就引起分类讨论的一些常见情况作一归纳：
有些数学概念是分类定义的（如实数的绝对值），所以应用这些概念解题时，就需进行分类讨论。有些数学概念在下定义已经对所考虑的对象的范围作了限制（如二次方程，要求二次项系数不为零），当解题过程的变换需要突破这些限制时，就必须分类讨论。
案例6：解方程|4x-4|-|2x+2|=14
解(1)当x≥1时, 原方程化为 (4x-4)-(2x+2)=14, x=10
当-1≤x≤1时，原方程化为4 – 4x-2x-2=14，x=-2, 应舍去.
当x≤-1时，原方程化为4-4x+2x+2=14, x=-4
∴
说明: 若在x的某个范围内求解方程时,若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解‘应舍去.
有些数学运算的实施需要一定的条件（如零不能作除数，不等式两边同乘以或除以某数时必须考虑正负等等），若在运算中要突破该运算的限制条件，就要进行分类讨论（如案例5）。
案例7：一张桌子有四只角，砍掉一只角后，还剩几只角？
当我们在上小学时，数学老师会问我们上述这个问题，当有的同学回答有3只角时，老师会说“错了”，而当有的同学回答有5只角时，老师则会表扬他们，称赞他们“聪明”。
实际上，砍去一只角后可能出现的多种情况，我们需分门别类，一一展示，再细细计算：
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| 图1 |
（1）砍下去的那条边不经过桌面（矩形）顶点，那么还剩下
（2）砍下去的那条边经过桌面的一个顶点，那么还剩下
| 图2 |
（3）当砍下去的那条边经过桌面的两个顶点，那么还剩下
| 图3 |
有些题目中的条件开放，致使求解结果不唯一，若对这类问题考虑不全面，时常发生漏解现象。
案例8：甲、乙两人分别从相距30km的A、B两地同时相向而行，经过3h后相距3km，再经过2h，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度。
解：（1）当3h后甲、乙两人未相遇时，设甲的速度为每小时xkm，乙的速度为每小时ykm，则
| 3x+3y=30-3 30-5x=2(30-5y) |
| x=4 y=5 |
解这个方程组得
∴甲的速度为4Km/h，乙的速度为5Km/h。
（2）当3h后甲、乙两人已相遇时，设甲的速度为每小时xkm，乙的速度为每小时ykm，则
| 3x+3y=30+3 30-5x=2(30-5y) |
| x=16/3 y=17/3 |
解这个方程组得
∴甲的速度为16/3Km/h，乙的速度为17/3Km/h。
答：甲的速度为4Km/h，乙的速度为5Km/h 或甲的速度为16/3Km/h，乙的速度为17/3Km/h。
当然，上面归纳的这几种分类根据不是相互独立的，有时这几种分类根据常常要交叉使用，尤其对一些较复杂的讨论题更是如此。
数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。教师在制订教学目的、采用教学方法时，都应有意识地突出分类讨论思想，并在具体教学过程中努力体现。根据初中学生的特点，教学中要遵照循序渐近、逐步深化的原则并采用灵活多变和有效的教学手段来实施分类讨论方法的教学。在教学中，我们要多研究、多实践、多探索，让学生更好的掌握好初中数学中的分类讨论思想